В зависимости от вида вариации может быть дискретным или интервальным. Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину, и интервальным, если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину. Интервалы в ряду могут быть как равными, так и неравными. Это зависит от характера статистических данных и задач исследования.

Определение числа интервалов (m) проводится согласно формуле Стерджеса m=1+3,322 lg n, а величина интервала x_max,x_min-наибольшее и наименьшее значение признака соответственно.

Каждой варианте Xi соответствует частота Ni, т.е. величина, показывающая сколько раз данное значение варианты встречается в ряду. При построении вариационного ряда можно использовать не частоты, а частости Q_i, которые вычисляются как отношения соответствующих частот к объему всей совокупности.

Qi = Ni/Сумма (Ni). Частости могут быть выражены в относительных числах (дроби) или в процентах.

Обобщающие количественные показатели (характеристики) в исследовании: вскрывают общие свойства имеющейся совокупности статистических данных; показывают тенденцию развития явления или процесса; нивелируют случайные индивидуальные отклонения изучаемого признака у некоторых объектов; позволяют сравнивать вариационные ряды; используются во всех разделах математической статистики при более сложном и полном анализе данных.

Средняя арифметическая: ,

где - объем совокупности значений в ряду

n_i – частота варианты в ряду

x_i – варианты с порядковым номером i

k – число вариант в ряду

При расчете средней арифметической в интервальном ряду за значение варианты принимается середина интервала. Середина интервала вычисляется как среднее арифметическое его границ.

Медиана (Ме) Срединное значение варьирующего признака в упорядоченном (ранжированном) ряду. Применяется в случаях, когда совокупность статистических данных неоднородна (асимметрична), поскольку Ме менее чувствительна к средним значениям ряда, чем средняя арифметическая.

Мода (Мо) Наиболее часто встречающаяся в ряду варианта. В интервальном вариационном ряду определяется модальный интервал. Мо используется для характеристики среднего уровня в неоднородных совокупностях, как и медиана.

Размах вариации (R) - разность максимального и минимального значений периода в вариационном ряду.

R=x_max-x_min

Зависит от случайных колебаний выборки, т.е. для вычисления R используются лишь крайние значения варианты.

Дисперсия - представляет собой среднюю арифметическую квадратов отклонений всех вариант от их средней арифметической.

где

x_i – варианты с порядковым номером i

– среднее арифметическое

k – число вариант в ряду

n_i – частость ( частота) с порядковым номером i

Стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение) - квадратный корень из дисперсии. Используется исследователями чаще, чем дисперсия, так как вычисляется в тех же единицах измерения, что и варианты.

Коэффициент вариации (V) Относительный показатель рассеяния значений варианты. Достоинства: позволяет сравнивать вариацию одного и того же признака в разных совокупностях; позволяет выявить степень различия одного и того же признака у одной и той же группы объектов в разное время; сопоставить вариацию значений разных признаков у одной и той же группы объектов.

()

Если коэффициент вариации признака, принимающего только положительные значения, высок ( например, более 100%), то, как правило, это свидетельствует о неоднородности значений признака.

Пример 1: α частицы, достигающие счетчика в некотором опыте, образуют следующую выборку:

х_i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
m_i	21	81	156	200	195	152	97	54	26	11	7

Найдите выборочную среднюю, моду и медиану для числа α - частиц, достигающих счетчика.

M_o=3

M_e=5

Пример 2:Измерение веса (в кг.) 100 телят совхоза «Луч» дало следующие результаты:

Вес	154-158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182
Число телят	10	14	26	28	12	8	2

Найдите выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение веса телят.

Решение. В качестве х_i примем середины интервалов и найдем выборочную среднюю веса телят.

=0,01·(156∙10+160∙14+164∙26+168∙28+172·12+176·8+180·2)=166 (кг.)

Вычислим теперь выборочную дисперсию:

S²=0,01·((-10)²·10+(-6)²·14+(-2)²·26+2²·28+6²·12+10²·8+14²·2)=33,44

и, извлекая из полученного числа корень квадратный, находим среднее квадратическое отклонение:

S=5,78 (кг.)

Пример 3: Имеются данные о количестве студентов в 30 группах физико-математического факультета:

26	25	25	26	25	23
23	24	19	23	20	19
22	24	24	23	20	23
24	19	21	18	21	18
20	18	18	21	15	15

Найти вариационный ряд количества студентов в группах и размах варьирования. Построить полигон частот.

Решение. Записывая исходные данные в порядке возрастания, составим вариационный ряд:

х_i	15	18	19	20	21	22	23	24	25	26
m_i	2	4	2	4	3	1	5	4	3	2

Размах варьирования R=x_max-x_min=26-15=11

Для построения полигона частот обозначим на оси абсцисс возможные значения признака, а на оси ординат соответствующие частоты m_i и полученные точки соединим отрезками.

Пример 4: Школьникам предлагалось разгадать несколько числовых закономерностей и вписать в пропуски недостающие числа. Оценка осуществлялась по количеству правильно решенных задач и дала следующие результаты:

Кол-во баллов	13	14	15	16	17	18	19	20
Кол-во школьников	2	3	2	4	12	10	8	9

Составить статистическое распределение количества школьников по количеству набранных баллов и построить полигон относительных частот.

Решение. Пусть Х={количество набранных баллов}, a f = {относительные частоты}. Тогда статистическое распределение выборки можно представить в виде следующей таблицы:

X	13	14	15	16	17	18	19	20
f	0,04	0,06	0,04	0,08	0,24	0,2	0,16	0,18

Чтобы построить полигон относительных частот, отложим на оси абсцисс значения X, а на оси ординат - относительные частоты f. После этого последовательно соединим полученные точки отрезками.

Пример 5: Распределение рабочих цеха по проценту выполнения норм выработки выглядит следующим образом:

% выполнения норм	50 - 70	70 - 90	90 - 110	110 - 130	130 - 150	150 - 170
Число рабочих	20	25	35	30	20	10

Найдите средний процент выполнения норм выработки рабочими цеха.

Решение.

Пример 6: Над случайной величиной X проведено 100 независимых испытаний, в результате чего получена выборка.

1.49	1.44	1.68	1.19	3,93	2,34	7,08	1,56	0,46	1,14
0,60	3,58	1,32	2.45	4,32	0,78	1,63	2,13	2,22	3,36
1.26	0,89	2,35	1,59	2,38	0,80	1,23	0,78	1,65	0,95
0,34	0,64	0,26	3,05	0,68	0,96	0,69	1,77	1,02	1,07
0,69	2,02	3,42	4,35	2,66	1	1,85	3,25	0,93	1,44
1,63	3.45	1,16	1,44	0.45	2,41	0,87	0,81	2,85	1.94
1,25	1,90	0,72	2.05	2,38	1.80	2,88	2,02	1,26	1,11
0,54	0,94	1,71 .	1,52	1,38	1,32	1,01	0,79	1,71	0,99
0.78	0,99	1,60	2.07	2,11	1.47	0.84	1,95	0,28	2,36
2,01	1,51	0,95	3,17	1,08	1,09	2.43	1,88	2,64	4,80.

Требуется составить интервальный вариационный ряд и построить гистограмму относительных частот.

Решение. Количество интервалов разбиения считаем по формуле Стерджесса

m=1+3,322·lg n=1+6,664≈8

Минимальное значение элемента выборки 0,26. Максимальное 7,08. Для удобства разбиения выберем интервал (0; 7,2) с шагом разбиения

Интервал	Абсолютная частота	Относительная частота	Середина интервала
(0;0.9)	21	0.21	0.45
(0.9; 1.8)	41.5	0.415	1.35
(1.8; 2.7)	23.5	0.235	2.25
(2.7; 3.6)	9	0.09	3.15
(3.6; 4.5)	3	0.03	4.05
(4.5; 5.4)	1	0.01	4.95
(5.4; 6.3)	0	0.00	5.85
(6.3; 7.2)	1	0.01	6.75

Пример 7: Суммарное число набранных баллов в соревнованиях:

Кол-во баллов	49-52	52-55	55-58	58-61	61-64	64-67	67-70
Кол-во участников	3	6	11	19	30	21	10

Построить гистограмму относительных частот.

X	49-52	52-55	55-58	58-61	61-64	64-67	67-70
f	0,03	0,06	0,11	0,19	0,3	0,21	0,1

Пример 8: Горизонтальное отклонение от цели (м) для 200 испытаний ракет:

Границы интервалов	-40– -30	-30– -20	-20– -10	-10– 0	0 – 10
Частоты	7	11	15	24	49
Границы интервалов	10–20	20–30	30–40	40–50	50–60
Частоты	41	26	17	7	3

Найдите выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение от цели.

Решение. В качестве х_i примем середины интервалов и найдем выборочную среднее отклонение пули.

=8,6

Вычислим теперь выборочную дисперсию:

377,04

и, извлекая из полученного числа корень квадратный, находим среднее квадратическое отклонение:

S=19,42

Пример 9:Дан дискретный ряд распределения 50 рабочих механического цеха по тарифному разряду

Тарифный разряд х_i	1	2	3	4	5	6
Частота(кол-во рабочих) n_i	2	3	6	8	22	9

Построить полигон распределения по данным таблицы и найти выборочную среднюю.

Решение. Пусть Х={количество тарифных разрядов}, a f = {относительные частоты}. Тогда статистическое распределение выборки можно представить в виде следующей таблицы:

X	1	2	3	4	5	6
f	0,04	0,06	0,12	0,16	0,44	0,18

Пример 10: X-число сделок на фондовой бирже за квартал; N=400 (инвесторов)

x_i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n_i	146	97	73	34	23	10	6	3	4	2	2

1) Построить полигон

2) Найти числовые характеристики вариационного ряда

а) Среднюю арифметическую

б) Дисперсию

в) Среднее квадратическое отклонение

г) Коэффициент вариации

Решение. 1)

X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
f	0,365	0,2425	0,1825	0,085	0,0575	0,025	0,015	0,0075	0,01	0,005	0,005

3) а)

4) б)

в)

г)

Список используемых источников:

1. Борисенко О. В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное – методическое пособие. – Барнаул: Изд-во БГПУ. – 50 с.

2. Вуколов Э. А. Сборник задач по математике для вузов. В 4 частях. Ч. 4: Учебное пособие для вузов / Под общ. Ред. А. В. Ефимома и А. С. Поспелова. – 3-е изд. Перераб. И доп. – М.: Издательство Физико-математической литературы, 2003. – 432 с.

26	25	25	26	25	23
23	24	19	23	20	19
22	24	24	23	20	23
24	19	21	18	21	18
20	18	18	21	15	15

26	25	25	26	25	23
23	24	19	23	20	19
22	24	24	23	20	23
24	19	21	18	21	18
20	18	18	21	15	15

26	25	25	26	25	23
23	24	19	23	20	19
22	24	24	23	20	23
24	19	21	18	21	18
20	18	18	21	15	15